Petite leçon de mathématiques … La preuve par 9

Qu’est-ce-que la preuve par 9 ?

La preuve par 9 permet de vérifier un résultat dans un calcul mental. Si la preuve par 9 est vérifiée, cela signifie que le résultat de l’opération est probablement exact. Par contre si la preuve par 9 n’est pas vérifiée, on peut alors être sûr que le résultat est faux.

Cette propriété peut être utilisée pour les 4 opérations.

Comment fonctionne la preuve par 9 ?

Une opération entre deux nombres donne un résultat. La même opération entre les sommes des chiffres de chacun des nombres donne la somme des chiffres du résultat.

Un exemple avec l’addition :

223 + 14 = 237

La somme des chiffres de 223 est 2 + 2 + 3 = 7.

La somme des chiffres de 14 est 1 + 4 = 5.

Effectuons la somme :

7 + 5 = 12 et 1 + 2 = 3

La somme des chiffres de 237 est : 2 + 3 + 7 = 12 et 1 + 2 = 3

Dans les deux cas nous avons trouvé la même somme des chiffres 3. Le résultat est probablement juste. Si les sommes sont différentes, nous en concluons que notre résultat initial est faux.

Autre exemple  avec la multiplication :

38 x 17 = 646

La somme des chiffres de 38 est 3 + 8 = 11 et 1 + 1 = 2.

La somme des chiffres de 17 est 1 + 7 = 8.

Effectuons le produit :

2 x 8 = 16 et 1 + 6 = 7

La somme des chiffres de 646 est : 6 + 4 + 6 = 16 et 1 + 6 = 7

Le calcul est donc probablement juste !

Note pour les initiés

Un élève de terminale S spécialité mathématiques peut démontrer à l’aide des congruences que cette preuve par 9 fonctionne pour les 4 opérations. Comme nous comptons en base 10, il faut utiliser le fait que 10 est congru à 1 modulo 9, puis démontrer qu’un nombre est toujours congru à la somme de ses chiffres modulo 9.